Question

【題目】如圖所示幾何體ABC﹣A1B1C1中，A1、B1、C1在面ABC上的射影分別是線段AB、BC、AC的中點，面A1B1C1∥面ABC，△ABC是邊長為2的等邊三角形．

（1）求證：△A1B1C1是等邊三角形；
（2）若面ACB1A1⊥面BA1B1 ， 求該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積；
（3）在（2）的條件下，求面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，設A1，B1，C1在底面ABC上的射影分別為E，F，G，則A1E∥BF，

∵面A1B1C1∥面ABC，面面A1B1EF∩面ABC=EF，∴A1B1∥EF，

又E、F分別是線段AB、BC的中點，即AC∥EF，∴A1B1∥AC，且A1B1= AC，

同理，A1C1= ，B1C1= ，

∵△ABC是等邊三角形，∴△A1B1C1是等邊三角形

（2）解：設A1E=h，取A1B1的中點K，∵A1B= =BB1，∴BK⊥A1B1，

又面ACB1A1⊥面BA1B1，∴BK⊥面ACB1A1，即BK⊥GK，

由題意得 ，BK=GK= ，

∵BG= ，∴h= ，

∴該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積：

= +3

= =

（3）解：過B作AC的平行線l，則l為面ABC與面A1B1B的交線，

分別取A1B，AC的中點K，G，

則BK⊥A1B1，BG⊥AC，

∵A1B1∥AC∥l，∴∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角，

∵BK⊥KG，∴cos∠KBG= = = ，

∴面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）設A1 ， B1 ， C1在底面ABC上的射影分別為E，F，G，則A1E∥BF，推導出A1B1= AC，A1C1= ，B1C1= ，由此能證明△A1B1C1是等邊三角形．（2）設A1E=h，取A1B1的中點K，由 = +3 ，能求出該幾何體ABC﹣A1B1C1的體積．（3）過B作AC的平行線l，則l為面ABC與面A1B1B的交線，分別取A1B，AC的中點K，G，則∠KBG是面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的平面角，由此能求出面ABC與面A1B1B所成的銳二面角的余弦值．