Question

對于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“布林函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為函數(shù)f（x）的“等域區(qū)間”．若函數(shù)f（x）=k+

x+2

是布林函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）=k+

x+2

是增函數(shù)，結(jié)合布林函數(shù)的概念可得，則存在實數(shù)a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，由此可得a，b是方程x=k+

x+2

的量和實數(shù)根，從而方程k=x-

x+2

有兩個不等實根，令

x+2

=t換元后結(jié)合圖象得答案．

解答： 解：∵f（x）=k+

x+2

是增函數(shù)，若f（x）=k+

x+2

是布林函數(shù)，
則存在實數(shù)a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
∴a，b是方程x=k+

x+2

的量和實數(shù)根，
從而方程k=x-

x+2

有兩個不等實根，
令

x+2

=t，則k=t²-t-2（t≥0），
如圖，

當(dāng)t=0時，k=-2；當(dāng)t=

1

2

時，k=-

9

4

．
由圖可知，當(dāng)-

9

4

＜k≤-2時，直線y=k與曲線y=t²-t-2（t≥0）有兩個不同交點．
即方程k=x-

x+2

有兩個不等實根．
∴實數(shù)k的取值范圍是(-

9

4

，-2]．
故答案為：(-

9

4

，-2]．

點評：本題是新概念題，考查了方程的根與函數(shù)的圖象，考查了函數(shù)的值域，是中檔題．