Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2${S_n}={n^2}+n$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）由2${S_n}={n^2}+n$．
$n≥2時(shí)2{S_{n-1}}={（n-1）^2}+（n-1）$，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=2n，
∴a_n=n（n≥2），
又n=1時(shí)，a₁=1適合上式．
∴a_n=n．
$（2）∵b{\;}_n=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}+2{a_n}-1=\frac{1}{n（n+1）}+2n-1=（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+（2n-1）$，
∴${S_n}=[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]+（1+3+…+2n-1）$
=$1-\frac{1}{n+1}+{n^2}={n^2}+1-\frac{1}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．