Question

17．已知函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線為y=-12x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，解方程可得a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，解方程可得極值點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可判斷極大值，計(jì)算可得．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4x³+ax²+bx+5的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=12x²+2ax+b，
即有12+2a+b=-12，4+a+b+5=-12，
解得a=-3，b=-18，
即有f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）f（x）=4x³-3x²-18x+5的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=12x²-6x-18=6（x+1）（2x-3），
由f′（x）=0，解得x=-1（$\frac{3}{2}$舍去），
當(dāng)-3＜x＜-1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則有x=-1處取得極大值，且為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．