Question

對(duì)a、b∈R，記max(a，b)=

a(a≥b) b(a＜b)

，函數(shù)f（x）=max（|x-1|，|x+2|）（x∈R）的最小值為

3

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)兩個(gè)式子比較大小和絕對(duì)值的意義，將f（x）化簡成分段函數(shù)的形式，可得f（x）在區(qū)間（-∞，-

1

2

]上是減函數(shù)；在區(qū)間（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答：解：∵當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，|x-1|＞|x+2|；當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，|x-1|=|x+2|；當(dāng)x＞-

1

2

時(shí)，|x-1|＜|x+2|
∴f（x）=max（|x-1|，|x+2|）=

|x-1|    x＜- 1 2 3 2           x=- 1 2 |x+2|     x＞- 1 2

化簡，得f（x）=

1-x     x≤- 1 2 x+2      x＞- 1 2

由此可得f（x）在區(qū)間（-∞，-

1

2

]上是減函數(shù)；在區(qū)間（-

1

2

，+∞）上是增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（-

1

2

）=

3

2

故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊定義，求函數(shù)f（x）的最小值，著重考查了實(shí)數(shù)比較大小、絕對(duì)值的意義和分段函數(shù)的處理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．