Question

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．對于A的一個(gè)子集S，若S滿足性質(zhì)P：“存在不大于n的正整數(shù)m，使得對于S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m”，則稱S為理想集．對于下列命題：
①當(dāng)n=10時(shí)，集合B={x∈A|x＞9}是理想集；
②當(dāng)n=10時(shí)，集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是理想集；
③當(dāng)n=1 000時(shí)，集合S是理想集，那么集合T={2 001-x|x∈S}也是理想集．
其中的真命題是

②③

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：利用理想集的定義，分別求出當(dāng)n=10，n=1000時(shí)對應(yīng)集合的理想集進(jìn)行判斷．

解答：解：①當(dāng)n=10時(shí)，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性質(zhì)P，因?yàn)閷θ我獠淮笥?0的正整數(shù)m，
  都可以找到該集合中兩個(gè)元素b₁=10與b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立．所以①錯(cuò)誤．
②集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}具有性質(zhì)P．因?yàn)榭扇�m=1＜10，對于該集合中任意一對元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N^*
都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1．所以②正確．
③當(dāng)n=1000時(shí)，則A={1，2，3，…，1999，2000}，若集合S具有性質(zhì)P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性質(zhì)P．

因?yàn)門={2001-x|x∈S}，任取t=2001-x₀∈T，其中x₀∈S，
因?yàn)镾⊆A，所以x₀∈{1，2，3，…，2000}，
從而1≤2001-x₀≤2000，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性質(zhì)P，可知存在不大于1000的正整數(shù)m，
使得對S中的任意一對元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m．
對于上述正整數(shù)m，從集合T={2001-x|x∈S}中任取一對元素t₁=2001-x₁，t₂=2001-x₂，其中x₁，x₂∈S，
則有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|≠m，
所以集合T={2001-x|x∈S}具有性質(zhì)P．所以③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評：考查集合之間的包含關(guān)系的判斷方法，以及元素與集合之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是新定義題，在解題時(shí)注意對新概念的理解與把握是解題的關(guān)鍵．