Question

5．對橢圓有結(jié)論一：橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），過點(diǎn)P（$\frac{a^2}{c}$，0）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M′，則直線M′N過點(diǎn)F．類比該結(jié)論，對雙曲線有結(jié)論二，根據(jù)結(jié)論二知道：雙曲線C′：$\frac{x^2}{3}$-y²=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（$\frac{3}{2}$，0）的直線與雙曲線C′右支有兩交點(diǎn)M，N，若點(diǎn)N的坐標(biāo)是（3，$\sqrt{2}$），則在直線NF與雙曲線的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．

Answer 1

分析 由已知結(jié)論一類比得到結(jié)論二，然后求出過點(diǎn)P、N的直線方程，再和雙曲線方程聯(lián)立求得M的坐標(biāo)，找關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)得答案．

解答 解：由結(jié)論一類比得到結(jié)論二為：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)為F（c，0），過點(diǎn)P（$\frac{a^2}{c}$，0）的直線l交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M′，則直線M′N過點(diǎn)F．
由雙曲線C′：$\frac{x^2}{3}$-y²=1，
得a²=3，b²=1，∴c²=a²+b²=4，c=2．
∴右準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)P（$\frac{3}{2}$，0），
則過N（3，$\sqrt{2}$）、P的直線方程為$\frac{y}{\sqrt{2}}=\frac{x-\frac{3}{2}}{3-\frac{3}{2}}$，即$y=\frac{2\sqrt{2}}{3}x-\sqrt{2}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2\sqrt{2}}{3}x-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{5}}\end{array}\right.$．
∴M（$\frac{9}{5}，\frac{\sqrt{2}}{5}$），M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．
故答案為：$（\frac{9}{5}，-\frac{{\sqrt{2}}}{5}）$．

點(diǎn)評 本題考查了類比推理，考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題．