Question

（2013•萊蕪二模）定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），已知f（x+1）是偶函數(shù)（x-1）f′（x）＜0．若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞2，則f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系是（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）=f（x₂）

C．f（x₁）＞f（x₂）

D．不確定

Answer 1

分析：由f（x+1）為偶函數(shù)可得f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，由（x-1）f′（x）＜0，可得f（x）在（-∞，1]，[1，+∞）上的單調(diào)性，分情況討論：若x₁≤1，利用對(duì)稱性把f（x₁）變到區(qū)間[1，+∞）上用單調(diào)性與f（x₂）比較；若x₁＞1，則由1＜x₁＜x₂直接用單調(diào)性可進(jìn)行大小比較．

解答：解：因?yàn)閒（x+1）是偶函數(shù)，所以f（-x+1）=f（x+1），則f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，
由（x-1）f′（x）＜0得，x＞1時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x＜1時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
若x₁≤1，由x₁+x₂＞2，得x₂＞2-x₁≥1，
所以f（x₁）=f（2-x₁）＞f（x₂）；
若x₁＞1，則1＜x₁＜x₂，所以f（x₁）＞f（x₂），
綜上知f（x₁）＞f（x₂），
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力，由所給條件分析出函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合是分析本題的有力工具．