Question

8．已知a＞0，b＞0，a²+$\frac{^{2}}{2}$=1，當(dāng)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，y=a$\sqrt{1+^{2}}$的最大值是$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 先求出1-a²＞0，將b²=2-2a²代入y=a$\sqrt{1+^{2}}$得到$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$，利用基本不等式的性質(zhì)，從而求出最大值．

解答 解：∵b²=2-2a²≥0，a＞0，
∴1-a²＞0，解得0＜a＜1．
∴y=a$\sqrt{1+^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}（1+^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}（2-2{a}^{2}）}$
=$\sqrt{{a}^{2}（3-2{a}^{2}）}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$
≤$\sqrt{2}$•$\frac{{a}^{2}+\frac{3}{2}-{a}^{2}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a²=$\frac{3}{2}$-a²時(shí)，即a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，此時(shí)b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
“=”成立．
函數(shù)y的最大值為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，將y=a$\sqrt{1+^{2}}$變形為y=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{a}^{2}（\frac{3}{2}-{a}^{2}）}$是解題的關(guān)鍵，本題屬于中檔題．