設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,(I)求橢圓E的方程;

(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。

 

【答案】

 

(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為 …………5分

 (2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組,即,

則△=,即

要使,需使,即,所以,所以,所以,所以,即,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

因為,

所以,

①當(dāng)

因為所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.

②  當(dāng)時,.

③  當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為,所以此時,

綜上, |AB |的取值范圍為即:

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,

(I)求橢圓E的方程;

(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009山東卷理) (本小題滿分14分)

設(shè)橢圓E: a,b>0)過M(2,) ,N (,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,

(I)求橢圓E的方程;

(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆河南省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本題滿分12分)

設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交A,B且

?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆河北省高三下學(xué)期理科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,

(I)求橢圓E的方程;

(II)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由

 

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