Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域為[-2，t]（t＞-2）．
（1）試確定t的范圍，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，t]上為增函數(shù)；
（2）求證：f（t）＞f（-2）；
（3）求證：對任意t＞-2，總有x₀∈（-2，t）滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，并確定這樣的x₀的個數(shù)．

Answer 1

（1）因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x2-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
∵函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，
∴-2＜t≤0，
（2）證：因為函數(shù)f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=13e-2＜e，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時，f（-2）＜f（t），
（3）證：因為

f′(x0)

ex0

=x₀²-x₀，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，
從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并討論解的個數(shù)，
因為g（-2）=6-

2

3

(t-1)2=-

2

3

(t-4)(t+2)，
g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)
所以當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
當(dāng)1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，
當(dāng)t=1時，g（x）=x²-x=0，
解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
當(dāng)t=4時，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
綜上所述，對于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時，有唯一的x0適合題意，
當(dāng)1＜t＜4時，有兩個x₀適合題意