Question

若f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值為m，則f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最小值為

 

（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知條件推導(dǎo)出f′（x）=-

1

2

sec2

x

2

-

3

x2

+2，從而得到f′（x）=0在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上無解．分別求出f(

π

2

)和f（-

π

2

），由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014，
∴f′(x)=

4x•x-2x2-3

x2

-

1

2

sec2

x

2

=-

1

2

sec2

x

2

-

3

x2

+2，
∴f′（x）=0在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上無解．
∵f(

π

2

)=

2• π2 4 +3

π 2

-tan

π

4

+2014
=2013+π+

6

π

，
f（-

π

2

）=

2• π2 4 +3

- π 2

-tan（-

π

4

）+2014
=2015-π-

6

π

=4028-（2013+π+

6

π

），
∵f（x）=

2x2+3

x

-tan

x

2

+2014在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值為m，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最小值為4028-m．
故答案為：4028-m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．