【題目】在棱長(zhǎng)為的正方體中，是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題：①存在兩點(diǎn)，使；②存在兩點(diǎn)，使與直線都成的角；③若，則四面體的體積一定是定值；④若，則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.

【答案】①③④

【解析】

對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小為，可判定②不正確；根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，可判定③正確；四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.

對(duì)于①中，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與點(diǎn)重合時(shí)，，所以①正確；

對(duì)于②中，當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合，與直線所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為，所以②不正確；

對(duì)于③中，設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為，可得平面，

平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面，高之和為的棱錐，

所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；

對(duì)于④中，四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過(guò)定點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的極小值為，求在區(qū)間上的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為抗擊“新冠肺炎”，全國(guó)各地“停課不停學(xué)”，各學(xué)校都開(kāi)展了在線課堂，組織學(xué)生在線學(xué)習(xí)，并自主安排時(shí)間完成相應(yīng)作業(yè)為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，某在線教育平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了部分高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需的平均時(shí)間，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）如果學(xué)生在完成在線課程后每天平均自主學(xué)習(xí)時(shí)間（完成各科作業(yè)及其他自主學(xué)習(xí)）為小時(shí)，估計(jì)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（結(jié)果精確到）；

（2）以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率，估計(jì)一個(gè)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間不超過(guò)分鐘的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】微信是騰訊公司推出的一種手機(jī)通訊軟件，它支持發(fā)送語(yǔ)音、短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國(guó)，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷(xiāo)售商品的人(被稱為微商).為了調(diào)查每天微信用戶使用微信的時(shí)間，某經(jīng)銷(xiāo)化妝品的微商在一廣場(chǎng)隨機(jī)采訪140位市民進(jìn)行調(diào)查，其中每天玩微信超過(guò)6小時(shí)的用戶稱為“微信控”，否則稱其為“非微信控”， 調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

微信控

非微信控

合計(jì)

女性

60

男性

30

合計(jì)

70

140

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，把表格中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整；

（2）利用（1）完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：

①是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)；

②已知在被調(diào)查的女性“微信控”市民中有5位退休老人，其中2位是教師，現(xiàn)從這5位退休老人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1位老師的概率.

附表：其中

P(K2≥k)

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市據(jù)實(shí)際情況主要采取以下四種扶貧方式：第一，以工代賑方式，指政府投資建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施工程，組織貧困地區(qū)群眾參加工程建設(shè)并獲得勞務(wù)報(bào)酬，第二，整村推進(jìn)方式指以貧困村為具體幫扶對(duì)象，幫扶對(duì)口到村，資金安排到村，扶貧效益到戶，第三，科技扶貧方式，指組織科技人員深入貧困鄉(xiāng)村實(shí)地指導(dǎo)、技術(shù)培訓(xùn)等傳授科技知識(shí)，第四，移民搬遷方式，指對(duì)目前極少數(shù)居住在生存條件惡劣、自然資源貧乏地區(qū)的特困人口，實(shí)行自愿移民，該市為了2020年更好的完成精準(zhǔn)扶貧各項(xiàng)任務(wù)，2020年初在全市貧困戶（分一般貧困戶和“五特”戶兩類）中隨機(jī)抽取了5000戶就目前的主要四種扶貧方式行了問(wèn)卷調(diào)查，支持每種扶貧方式的結(jié)果如表：

調(diào)查的貧困戶

支持以工代賑戶數(shù)

支持整村推進(jìn)戶數(shù)

支持科技扶貧戶數(shù)

支持移民搬遷戶數(shù)

一般貧困戶

1200

1600

200

五特戶（五保戶和特困戶）

100

100

已知在被調(diào)查的5000戶中隨機(jī)抽取一戶支持整村推進(jìn)的概率為0.36.

（Ⅰ）現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的貧困戶中抽取50戶進(jìn)行深入訪談，問(wèn)應(yīng)在支持科技扶貧戶數(shù)中抽取多少戶？

（Ⅱ）雖然“五特”戶在全市的貧困戶所占比例不大，但本次調(diào)查要有意義，其中這次調(diào)查的“五特”戶戶數(shù)不能低于被調(diào)查總戶數(shù)的9.2%，已知，求本次調(diào)查有意義的概率是多少？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中， ，角的平分線交于點(diǎn)，設(shè).（1）求；（2）若，求的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值；

（2）若為整數(shù)，，且，不等式成立，求整數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案