【題目】在棱長(zhǎng)為的正方體中,是面對(duì)角線上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題:①存在兩點(diǎn),使;②存在兩點(diǎn),使與直線都成的角;③若,則四面體的體積一定是定值;④若,則四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為真命題的是____.

【答案】①③④

【解析】

對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),可判斷①正確;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小為,可判定②不正確;根據(jù)平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,可判定③正確;四面體在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為定值,可判定④正確.

對(duì)于①中,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與點(diǎn)重合時(shí),,所以①正確;

對(duì)于②中,當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)重合,與直線所成的角最小,此時(shí)兩異面直線的夾角為,所以②不正確;

對(duì)于③中,設(shè)平面兩條對(duì)角線交點(diǎn)為,可得平面,

平面將四面體可分成兩個(gè)底面均為平面,高之和為的棱錐,

所以四面體的體積一定是定值,所以③正確;

對(duì)于④中,四面體在上下兩個(gè)底面上的投影是對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線長(zhǎng)度均為1的四邊形,其面積為定義,

四面體在四個(gè)側(cè)面上的投影,均為上底為,下底和高均為1的梯形,其面積為定值,

故四面體在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值,所以④正確.

故答案為:①③④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求橢圓的方程;

(2)如圖,過定點(diǎn)的直線交橢圓兩點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交,求證:.

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1)求的單調(diào)區(qū)間;

2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.

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1)如果學(xué)生在完成在線課程后每天平均自主學(xué)習(xí)時(shí)間(完成各科作業(yè)及其他自主學(xué)習(xí))為小時(shí),估計(jì)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間占自主學(xué)習(xí)時(shí)間的比例(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(結(jié)果精確到);

2)以統(tǒng)計(jì)的頻率作為概率,估計(jì)一個(gè)高三備考學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時(shí)間不超過分鐘的概率.

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微信控

非微信控

合計(jì)

女性

60

男性

30

合計(jì)

70

140

1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),把表格中的數(shù)據(jù)填寫完整;

2)利用(1)完成的表格數(shù)據(jù)回答下列問題:

①是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為微信控性別有關(guān);

②已知在被調(diào)查的女性微信控市民中有5位退休老人,其中2位是教師,現(xiàn)從這5位退休老人中隨機(jī)抽取2人,求至少有1位老師的概率.

附表:其中

P(K2k)

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】某市據(jù)實(shí)際情況主要采取以下四種扶貧方式:第一,以工代賑方式,指政府投資建設(shè)基礎(chǔ)設(shè)施工程,組織貧困地區(qū)群眾參加工程建設(shè)并獲得勞務(wù)報(bào)酬,第二,整村推進(jìn)方式指以貧困村為具體幫扶對(duì)象,幫扶對(duì)口到村,資金安排到村,扶貧效益到戶,第三,科技扶貧方式,指組織科技人員深入貧困鄉(xiāng)村實(shí)地指導(dǎo)、技術(shù)培訓(xùn)等傳授科技知識(shí),第四,移民搬遷方式,指對(duì)目前極少數(shù)居住在生存條件惡劣、自然資源貧乏地區(qū)的特困人口,實(shí)行自愿移民,該市為了2020年更好的完成精準(zhǔn)扶貧各項(xiàng)任務(wù),2020年初在全市貧困戶(分一般貧困戶和五特戶兩類)中隨機(jī)抽取了5000戶就目前的主要四種扶貧方式行了問卷調(diào)查,支持每種扶貧方式的結(jié)果如表:

調(diào)查的貧困戶

支持以工代賑戶數(shù)

支持整村推進(jìn)戶數(shù)

支持科技扶貧戶數(shù)

支持移民搬遷戶數(shù)

一般貧困戶

1200

1600

200

五特戶(五保戶和特困戶)

100

100

已知在被調(diào)查的5000戶中隨機(jī)抽取一戶支持整村推進(jìn)的概率為0.36.

(Ⅰ)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的貧困戶中抽取50戶進(jìn)行深入訪談,問應(yīng)在支持科技扶貧戶數(shù)中抽取多少戶?

(Ⅱ)雖然五特戶在全市的貧困戶所占比例不大,但本次調(diào)查要有意義,其中這次調(diào)查的五特戶戶數(shù)不能低于被調(diào)查總戶數(shù)的9.2%,已知,求本次調(diào)查有意義的概率是多少?

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【題目】設(shè)函數(shù).

1)討論函數(shù)的極值;

2)若為整數(shù),,且,不等式成立,求整數(shù)的最大值.

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