Question

【題目】【2018安徽淮南市高三一模（2月）】已知函數(shù)．

（I）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）曲線與直線交于， 兩點(diǎn)，其中，若直線斜率為，求證： ．

Answer 1

【答案】（I）答案見解析；（II）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問(wèn)題等價(jià)于，令，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：

(1) ， ，

當(dāng)時(shí)，恒有， 在區(qū)間上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，令，即，解得；令，即，解得， 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

綜上，當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

(2)證明： ，要證明，

即證，等價(jià)于，令 (由，知)，

則只需證，由知，故等價(jià)于 (*)

①令，則，所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，所以；

②令，則，所以在內(nèi)是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，所以，

綜上， .