Question

（2012•成都一模）若函數f（x）滿足：在定義域D內存在實數x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數f（x）為“1的飽和函數”．有下列函數：
①f(x)=

1

x

；②f(x)=2x；
③f（x）=lg（x²+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你認為是“1的飽和函數”的所有函數的序號為

②④

．

Answer 1

分析：根據集合M的定義，可根據函數的解析式，f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）構造方程，若方程有根，說明函數符合集合M的定義，若方程無根，說明函數不符號集合M的定義，由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：（1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

∈M，則存在非零實數x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1
即x₀²+x₀+1=0，
因為此方程無實數解，所以函數f（x）=

1

x

∉M．
（2）D=R，則存在實數x₀，使得2x0+1=2x0+2解得x₀=1，因為此方程有實數解，
所以函數f（x）=2^x∈M．
（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
則lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程無解．即f（x）=lg（x²+2）∉M
④存在x=

1

3

使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
綜上可知②④中的函數屬于集合
故答案為：②④

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，及其它方程的解法，掌握判斷元素與集合關系的方法，即元素是否滿足集合的性質是解答本題的關鍵．