Question

13．若關(guān)于x的方程lnx+x=a在區(qū)間[1，e²]內(nèi)有唯一實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為[1，2+e²]．

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+x，再運用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx+x，其中x∈[1，e²]，
問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=a有唯一實數(shù)根，
由于，f（x）在定義域[1，e²]內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，a∈[f（x）_min，f（x）_max]，
其中，f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e²）=2+e²，
因此，a∈[1，2+e²]．
故填：[1，2+e²]．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象交點的判定，涉及到函數(shù)值域的求法，屬于基礎(chǔ)題．