Question

已知向量

p

=（2sin（x-

π

6

），1），

q

=（cosx，-

1

2

），函數(shù)f（x）=

p

•

q

（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期對稱中心及單調減區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）利用數(shù)量積得坐標運算，兩角差的正弦公式，二倍角公式化簡解析式，由周期公式、正弦函數(shù)的對稱中心、的單調減區(qū)間，分別求出函數(shù)f（x）對應的最小正周期、對稱中心、單調減區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)f（C）=0和C的范圍求出角C，再根據(jù)向量共線的坐標條件和正弦定理得b=2a，見那個c=3、C的值代入余弦定理化簡，最后聯(lián)立求出a、c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，f(x)=

p

•

q

=2sin(x-

π

6

)cosx-

1

2

=2(

3

2

sinx-

1

2

cosx)cosx-

1

2

=

3

2

sin2x-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x-

π

6

=kπ（k∈Z）得，x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
f（x）的對稱中心是（

π

12

+

kπ

2

，-1）（k∈Z），
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z，
所以f（x）的單調減區(qū)間：[ 
（Ⅱ）由f（C）=0得，sin(2C-

π

6

)-1=0，即sin(2C-

π

6

)=1，
因為0＜C＜π，所以-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
則2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

，
因為向量

m

=（1，sinA）與

n

=（2，sinB）共線，
所以sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA，
由正弦定理得，b=2a，①
又c=3，由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，即9=a²+b²-2abcos

π

3

，②
由①②得，a=

3

，b=2

3

．

點評：本題考查掌握數(shù)量積的坐標運算，兩角和的正弦公式、二倍角公式，正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的單調性，三角函數(shù)的周期性及其求法，利用向量的數(shù)量積及其化簡三角函數(shù)是解題的關鍵，考查知識廣泛，比較綜合．