【題目】(本小題滿分12分)我們把一系列向量按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足:,.
(1)證明:數列是等比數列;
(2)設表示向量與間的夾角,若,對于任意正整數,不等式恒成立,求實數的范圍
(3)設,問數列中是否存在最小項?若存在,求出最小項;若不存在,請說明理由
【答案】(1)見解析;(2);(3)存在最小項,最小項是
【解析】
試題分析:第一問利用等比數列的定義證明,第二問只需證明不等式左邊的最小值大于a(a+2),接下來研究左邊和式的單調性,最后轉化為求解,第三問假設存在第n項最小滿足,求解關于n的不等式得第5項最小.
試題解析:(1)∵ ,
∴ ,
∴數列是等比數列;
(2)∵ ,∴ , ,
不等式化為:對任意正整數恒成立.
設.
又 ,
∴ 數列單調遞增,,
要使不等式恒成立,只要, ,得
∴ 使不等式對于任意正整數恒成立的的取值范圍是.
(3)∵,∴ ,
假設中的第 項最小,由 ,,∴,
當時,有,由可得,即,∴ ,,或(舍),
∴ ,即有,
由,得, 又,∴ ;
故數列中存在最小項,最小項是
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【題目】(本小題滿分13分)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的投籃命中次數, 乙組記錄中有一個數據模糊,無法確認, 在圖中以表示.
(Ⅰ)如果乙組同學投籃命中次數的平均數為, 求及乙組同學投籃命中次數的方差;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下, 分別從甲、乙兩組投籃命中次數低于10次的同學中,各隨機選取一名, 記事件A:“兩名同學的投籃命中次數之和為17”, 求事件A發(fā)生的概率.
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【題目】已知數列{an},{bn}滿足2Sn=(an+2)bn , 其中Sn是數列{an}的前n項和.
(1)若數列{an}是首項為 ,公比為﹣ 的等比數列,求數列{bn}的通項公式;
(2)若bn=n,a2=3,求證:數列{an}滿足an+an+2=2an+1 , 并寫出數列{an}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,設cn= , 求證:數列{cn}中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積.
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【題目】已知等差數列{an}滿足a1+a2=10,a5=a3+4.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記{an}的前n項和為Sn若Sk+1<2ak+a2,求正整數k的值
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【題目】已知四邊形ABCD內接于圓O
(1)若AB=2,BC=6,CD=4,AC=8,求BD
(2)若AC=,BC=+1,∠ADB=,求AD2+DC2的取值范圍
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【題目】已知圓M的圓心M在y軸上,半徑為1.直線l:y=2x+2被圓M所截得的弦長為 ,且圓心M在直線l的下方.
(1)求圓M的方程;
(2)設A(t,0),B(t+5,0)(﹣4≤t≤﹣1),若AC,BC是圓M的切線,求△ABC面積的最小值.
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【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分別為SA,SB的中點,E為CD中點,過M,N作平面MNPQ分別與BC,AD交于點P,Q,若 =t .
(1)當t= 時,求證:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在實數t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值為 ?若存在,求出實數t的值;若不存在,說明理由.
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