【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足2Sn=(an+2)bn , 其中Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 ,公比為﹣ 的等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=n,a2=3,求證:數(shù)列{an}滿足an+an+2=2an+1 , 并寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)cn= , 求證:數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積.
【答案】
(1)解:因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為 ,公比為- 的等比數(shù)列
所以 ,
所以
(2)解:若bn=n,則2Sn=(an+2)n,所以2Sn+1=(n+1)(an+1+2)
所以2an+1=(n+1)an+1﹣nan+2,即(n﹣1)an+1+2=nan
所以nan+2+2=(n+1)an+1
所以nan+2﹣(n﹣1)an+1=(n+1)an+1﹣nan
所以an+an+2=2an+1
又由2S1=a1+2,得:a1=2
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2公差為1的等差數(shù)列
所以an=n+1
(3)解:證明:由(2)知 ,
對(duì)于給定的n∈N*,若存在k,t≠n,且t,k∈N*,使得cn=ckct,
只需
只需
取k=n+1,則t=n(n+2)
所以對(duì)于數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng) ,
都存在Cn+1= 與Cn(n+2)= ,使得cn=cn+1cn(n+2),
即數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積
【解析】(1)通過(guò)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為 ,公比為- 的等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式,然后求解 .(2)若bn=n,通過(guò)an=Sn﹣Sn+1 , 得到遞推關(guān)系式,化簡(jiǎn)推出數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2公差為1的等差數(shù)列,求出通項(xiàng)公式.(3)由(2)知 ,對(duì)于給定的n∈N* , 若存在k,t≠n,且t,k∈N* , 使得cn=ckct , 證明 ,構(gòu)造 ,然后證明數(shù)列{cn}中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系),還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)容量為M的樣本數(shù)據(jù),其頻率分布表如下.
(1)計(jì)算a,b的值;
(2)畫(huà)出頻率分布直方圖;
(3)用頻率分布直方圖,求出總體的眾數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值.
頻率分布表
分組 | 頻數(shù) | 頻率 | 頻率/組距 |
(10,20] | 2 | 0.10 | 0.010 |
(20,30] | 3 | 0.15 | 0.015 |
(30,40] | 4 | 0.20 | 0.020 |
(40,50] | a | b | 0.025 |
(50,60] | 4 | 0.20 | 0.020 |
(60, 70] | 2 | 0.10 | 0.010 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn),P,Q是圓O上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),∠AOP= ,∠AOQ=α,α∈[0, ].
(1)若Q( , ),求cos(α﹣ )的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(α)=sinα( ),求f(α)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知⊙O的半徑是1,點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上,BC=1,點(diǎn)P是⊙O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作等邊三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè).
(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示為關(guān)于θ的函數(shù);
(2)求四邊形OPDC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x|x<2},集合N={x|0<x<1},則下列關(guān)系中正確的是( )
A.M∪N=R
B.M∪RN=R
C.N∪RM=R
D.M∩N=M
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)我們把一系列向量按次序排成一列,稱之為向量列,記作,已知向量列滿足:,.
(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)設(shè)表示向量與間的夾角,若,對(duì)于任意正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍
(3)設(shè),問(wèn)數(shù)列中是否存在最小項(xiàng)?若存在,求出最小項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,邊a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且滿足bcosC=(3a-c)cosB
(1)求cosB
(2)若△ABC的面積為4,b=4,求△ABC的周長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m,現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F(xiàn).
(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時(shí)即停,乙比甲遲2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時(shí)甲乙兩人之間的距離;
(2)設(shè)∠CEF=θ,乙丙之間的距離是甲乙之間距離的2倍,且∠DEF= ,請(qǐng)將甲乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲乙之間的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便,某共享單車公司“Mobike”計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資120萬(wàn)元,根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每個(gè)城市至少要投資40萬(wàn)元,由前期市場(chǎng)調(diào)研可知:甲城市收益與投入(單位:萬(wàn)元)滿足,乙城市收益與投入(單位:萬(wàn)元)滿足,設(shè)甲城市的投入為(單位:萬(wàn)元),兩個(gè)城市的總收益為(單位:萬(wàn)元).
(1)當(dāng)甲城市投資50萬(wàn)元時(shí),求此時(shí)公司總收益;
(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資,才能使總收益最大?
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