如圖，圓M過點A（-
3
，0）、B（
3
，0）、C（0，-3），且與y軸的正半軸交于點D．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）已知弦EF過原點O．
（�。┤魘EF|=
15
，求EF所在的直線方程；
（ⅱ）若弦DF、CE與x軸分別交于P、Q兩點，求證：|OP|=|OQ|．
考點：直線和圓的方程的應用
專題：直線與圓
分析：（Ⅰ）解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由已知得
3-
3
D+F=0
3+
3
D+F=0
9-3E+F=0
，由此能求出圓M的方程．
（Ⅱ）（i）設(shè)EF的方程為y=kx，聯(lián)立
x2+y2+2y-3=0
y=kx
，得（k2+1）x2+2kx-3=0，由此利用弦長公式能求出EF所在的直線方程．
（ii）聯(lián)立
x2+y2+2y-3=0
y=
3
x
，得4x2+2
3
x-3=0，解得E（
-
3
+
15
4
，
-3+3
5
4
），F(xiàn)（
-
3
-
15
4
，
-3-3
5
4
），在x2+y2+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．則直線DF：
y-1
x
=
-3-3
5
4
-1
-
3
-
15
4
，直線CE：
y+3
x
=
-3+3
5
4
+3
-
3
+
15
4
，由此能證明|OP|=|OQ|．
解答： （Ⅰ）解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∵圓M過點A（-
3
，0）、B（
3
，0）、C（0，-3），
∴
3-
3
D+F=0
3+
3
D+F=0
9-3E+F=0
，解得D=0，F(xiàn)=-3，E=2，
∴圓M的方程為：x2+y2+2y-3=0．
（Ⅱ）（i）解：設(shè)EF的方程為y=kx，
聯(lián)立
x2+y2+2y-3=0
y=kx
，得（k2+1）x2+2kx-3=0，
△=4k2+12（k2+1）＞0，
設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則：x1+x2=-
2k
k2+1
，x1x2=-
3
k2+1
，
∵|EF|=
15
，∴
(1+k2)[(-
2k
k2+1
)2+
12
k2+1
]
=
15
，
解得k=
3
或k=-
3
（舍）
∴EF所在的直線方程為y=
3
x．
（ii）證明：聯(lián)立
x2+y2+2y-3=0
y=
3
x
，得4x2+2
3
x-3=0，
解得E（
-
3
+
15
4
，
-3+3
5
4
），F(xiàn)（
-
3
-
15
4
，
-3-3
5
4
），
在x2+y2+2y-3=0中，令x=0，得D（0，1）．
∴直線DF：
y-1
x
=
-3-3
5
4
-1
-
3
-
15
4
，
令y=0，得|OP|=|x|=
3
+
15
7+3
5
=
4
15
-8
3
4
；
直線CE：
y+3
x
=
-3+3
5
4
+3
-
3
+
15
4
，
令y=0，得：|OQ|=
15
-
3
3+
5
=
4
15
-8
3
4
．
∴|OP|=|OQ|．
點評：本題考查圓的方程的求法，考查直線方程的求法，考查線段長相等的證明．解題時要認真審題，注意弦長公式的合理運用．
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2
，PC=2．
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m
=（sinB，2cosB），
n
=（cosB，sin2（
π
4
-
B
2
），
m
•
n
=
3
5
．
（1）求cosB的值；
（2）若2b=a+c，
BA
•
BC
=9，求b的值．

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x
k
）g（-
x
k
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x2
k
．

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已知雙曲線x2-
y2
b2
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．

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．

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橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與橢圓C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的交點在坐標軸上的射影恰好為這兩個橢圓的焦點，則這兩個橢圓的離心率為
 
．

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設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P滿足∠F1PF2=60°，|OP|=
7
a，則雙曲線的漸近線方程為
 
．

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