Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=1+x．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（2）若k＞1，證明：當|x|＜k時，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得h′（x）=e^x-1．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出h（x）取最小值h（0）=0．
（Ⅱ）[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，等價于[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明|x|＜k時，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x，g（x）=1+x，
∴h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x，h′（x）=e^x-1．
當x∈（-∞，0）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
當x=0時，h（x）取最小值h（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

，即[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．①
由（Ⅰ）知，f（

x

k

）-g（

x

k

）≥0，即e

x

k

≥1+

x

k

，
又1-

x

k

＞0，則e

x

k

（1-

x

k

）＞（1+

x

k

）（1-

x

k

）=1-

x2

k2

＞0．
所以[e

x

k

（1-

x

k

）]^k＞（1-

x2

k2

）^k．②…（7分）
設(shè)φ（t）=（1-t）^k-1+kt，t∈[0，1]．
由k＞1知，當t∈（0，1）時，φ′（t）=-k（1-t）^k-1+k=k[1-（1-t）^k]＞0，
φ（t）在[0，1]單調(diào)遞增，當t∈（0，1）時，φ（t）＞φ（0）=0．
因為

x2

k2

∈（0，1），所以φ（

x2

k2

）=（1-

x2

k2

）^k-1+k•

x2

k2

＞0，
因此不等式②成立，從而不等式①成立．
故當|x|＜k時，[f（

x

k

）g（-

x

k

）]^k＞1-

x2

k

．…（12分）

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．