精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

已知 $數(shù)學公式$ （x＞1），
（1）若 $數(shù)學公式$ ，求g（x）的最小值；
（2）若不等式 $數(shù)學公式$ 對于一切 $數(shù)學公式$ 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解：（1） $\text{[math]}$ （0＜x＜1），
∴ $\text{[math]}$ ，等號當且僅當 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 時取得．
∴g（x）的最小值為 $\text{[math]}$ ．
（2）不等式即為 $\text{[math]}$ ，也就是 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，則F（u）=（1+m）u+（1-m²）＞0在 $\text{[math]}$ 上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先由f（x）求出f^-1（x），進而求得g（x），利用基本不等式即可求得g（x）的最小值；
（2）原不等式可化為 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，則F（u）=（1+m）u+（1-m²）＞0在 $\text{[math]}$ 上恒成立，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得關于m的不等式組，解出即可；
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、反函數(shù)的求解及基本不等式求最值，考查轉化思想，綜合性較強，難度較大．

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