Question

矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使點A移至點P，使點P在平面BCD上的射影O在DC上，（如圖）．
（Ⅰ）求證：PD⊥PC；
（Ⅱ）求直線CD與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用傳統(tǒng)方法，要證線線垂直，可先證線面垂直，本題只需要證明DP⊥平面PCB 即可，
（Ⅱ）解法一：先作二面角的平面角，作CF⊥PB，F(xiàn)為垂足，從而可知∠CDF是CD與平面BDP所成的角，故可求；
解法二：以平行于BC的直線為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，從而轉化為向量的夾角求解即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵PO⊥平面BCD，∴PO⊥BC
∴平面PCD⊥平面BCD
又∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
∴DP⊥CP                 …（7分）
（Ⅱ）解法一：
作CF⊥PB，F(xiàn)為垂足，∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
∵CF⊥平面PDB，∴∠CDF是CD與平面BDP所成的角，
在Rt△PBC中，∴∠BCP=90°，BC=2

3

，BP=6，∴PC=2

6

，∴CF•BP=BC•CP，∴CF=2

2

，
在Rt△CDF中，sin∠CDF=

CF

CD

=

2

3

∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為

2

3

…（14分）
解法二：
由題意知 PD=2

3

DC=6DP⊥CP
∴PC=2

6

PO=

PC•PD

DC

=2

2

DO=2OC=4
如圖，以平行于BC的直線為x軸，以OC為y軸，以OP為z軸建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），P(0，0，2

2

)，D（0，-2，0），C（0，4，0），B(2

3

，4，0)
∴

CD

=(0，-6，0)，

PD

=(0，-2，-2

2

)

BD

=(-2

3

，6，0)
設平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則 

PD

•

n

=-2y-2

2

z=0且

BD

•

n

=-2

3

x+6y=0
令y=1，則x=

3

，z=-

1

2

，∴

n

=(

3

，1，-

2

2

)
記CD與平面BDP所成的角為θ則  sinθ=|cos＜

CD

，

n

＞|=

|CD • n |

| CD || n |

=

6

6× 3 2 2

=

2

3

∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為

2

3

…（14分）

點評：本題以平面圖形的翻折為素材，考查線線垂直，考查線面角，一例兩法，應注意細細體會．