Question

7．已知命題p：方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且僅有一解；命題q：存在實數(shù)x使不等式x²+2ax+2a≤0成立，若命題“￢p且q”是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先通過因式分解求出方程x²-（2+a）x+2a=0的根，再根據(jù)判別式確定不等式x²+2ax+2a≤0有解，最后根據(jù)復合命題真假求出a的取值范圍．

解答 解：①若命題p為真，由x²-（2+a）x+2a=0得（x-2）（x-a）=0，解得x=2或x=a，
又∵方程x²-（2+a）x+2a=0，在[-1，1]上有且僅有一解，∴-≤a≤1．
②若命題q為真，即存在實數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0
∴△=4a²-8a≥0解得a≤0或a≥2，
因為命題“￢p且q”是真命題，所以，命題p是假命題、命題q是真命題，
當命題p為假時，a＜-1或a＞1，
當命題q為真時，a≤0或a≥2，
因此，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1）∪[2，+∞）．

點評 本題主要考查了復合命題真假的判斷，一元二次方程和一元二次不等式的解法，以及集合交集的運算，屬于中檔題．