Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
（1）若f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=

e

x

，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，可得f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

0在（0，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，求出右邊的最大值，即可求a的取值范圍；
（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，等價(jià)于f（x）_max≥g（x）_min，可得f（e）≥g（e），即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
∴f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

，
∵f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥

1

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，
∵x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

；
（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，等價(jià)于f（x）_max≥g（x）_min，
∴f（e）≥g（e），
∴a（e-

1

e

）-lne≥1，
∴a≥

2e

e2-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最大值，考查小時(shí)分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．