Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b（k≠0）分別交雙曲線y=

m

x

(m≠0)于A、B兩點，交x軸于點D，在x軸上有一點C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC=

4

5

，B（-3，n）．
（1）求該雙曲線y=

m

x

與直線AB的解析式；
（2）連接BC，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由于傾斜角∠ADC為銳角，已知sin∠ADC=

4

5

，利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可得斜率k．利用CD=4，C（3，0），可得D（-1，0），代入直線AB可得b．進而得到直線AB的方程．把B（-3，n）代入直線AB的方程可得n，可得B并代入雙曲線y=

m

x

可得m即可．
（2）設(shè)A(x，

8

x

)（x＞0），利用兩點間的距離公式和AD=5，可得x．再利用S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

|DC|•yA+

1

2

|DC|•(-yB)即可得出．

解答： 解：（1）∵sin∠ADC=

4

5

，又∠ADC為銳角，
∴cos∠ADC=

1-cos2∠ADC

=

3

5

，
∴tan∠ADC=

sin∠ADC

cos∠ADC

=

4

3

，
∴斜率k=

4

3

．
∴CD=4，C（3，0），∴D（-1，0），
代入直線AB：0=-k+b，∴b=k=

4

3

．
∴直線AB的方程為：y=

4

3

x+

4

3

．
把B（-3，n）代入上式可得：n=-3×

4

3

+

4

3

=-

8

3

．
∴B(-3，-

8

3

)．
把B的坐標代入雙曲線y=

m

x

可得：m=-3×(-

8

3

)=8．
∴雙曲線的方程為：y=

8

x

．
綜上可得：該雙曲線y=

8

x

，直線AB的解析式為y=

4

3

x+

4

3

．
（2）設(shè)A(x，

8

x

)（x＞0），
∵AD=5，∴

(x+1)2+( 8 x )2

=5，解得x=2．
∴A（2，4）．∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

|DC|•yA+

1

2

|DC|•(-yB)
=

1

2

×4×(4+

8

3

)=

40

3

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式、斜率與傾斜角的關(guān)系、直線與雙曲線相交問題、兩點間的距離公式、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．