Question

已知向量

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），定義f（x）=

a

•

b

-

3

（1）求函數(shù)y=f（x），x∈R的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）為偶函數(shù)，求θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦函數(shù)的圖象

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的減區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
（2）運(yùn)用余弦函數(shù)為偶函數(shù)，以及誘導(dǎo)公式，解方程即可求得．

解答： 解：（1）向量

a

=（sinx，2

3

sinx），

b

=（2cosx，sinx），
則f（x）=

a

•

b

-

3

=2sinxcosx+2

3

sin²x-

3

=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得，kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，
即有f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）函數(shù)y=f（x+θ）（0＜θ＜

π

2

）為偶函數(shù)，
即有y=2sin（2x+2θ-

π

3

）為偶函數(shù)．
可令2θ-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
解得，θ=

kπ

2

+

5π

6

，k∈Z．
由誘導(dǎo)公式可得，y=2sin（2x+2θ-

π

3

）=2sin（2x+kπ+

π

2

）
=±2cos2x，即為偶函數(shù)．
則有θ=

kπ

2

+

5π

6

，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和余弦函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．