Question

16．如圖，點P從點O出發(fā)，分別按逆時針方向沿周長均為12的正三角形、正方形運動一周，O，P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系分別記為y=f（x），y=g（x），定義函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），f（x）≤g（x）\\ g（x），f（x）＞g（x）\end{array}$考查下列結論：
①h（4）=$\sqrt{10}$；
②函數(shù)h（x）的圖象關于直線x=6對稱；
③函數(shù)h（x）值域為$[{0，\sqrt{13}}]$；
④函數(shù)h（x）增區(qū)間為（0，5）．
其中正確的結論是①②③．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 由已知條件求出函數(shù)的解析式，通過函數(shù)值，函數(shù)圖象的對稱性，單調性逐一判斷四個命題得答案．

解答 解：由題意可得y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤4）}\\{\sqrt{{x}^{2}-12x+48}，（4＜x＜8）}\\{-x+12，（8≤x＜12）}\end{array}\right.$，
y=g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤3）}\\{\sqrt{{x}^{2}-6x+18}，（3＜x≤6）}\\{\sqrt{{x}^{2}-24x+153}，（6＜x＜9）}\\{-x+12，（9≤x＜12）}\end{array}\right.$，
①∵函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≤g（x）}\\{g（x），f（x）＞g（x）}\end{array}\right.$，f（4）=4，g（4）=$\sqrt{10}$，
∴h（4）=$\sqrt{10}$，故①正確；                 
②函數(shù)h（x）的圖象關于直線x=6對稱；
∵兩個幾何圖形是正三角形與正方形，∴函數(shù)h（x）的圖象關于直線x=6對稱，故②正確；
③∵f（x）∈[0，4]，g（x）∈[0，$3\sqrt{2}$]，
由$\sqrt{{x}^{2}-12x+48}$=$\sqrt{{x}^{2}-6x+18}$，解得x=5時，f（x）=g（x），此時g（5）=$\sqrt{13}$，
∴函數(shù)h（x）值域為[0，$\sqrt{13}$]，故③正確；
④∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，（0≤x≤4）}\\{\sqrt{{x}^{2}-12x+48}，（4＜x＜8）}\\{-x+12，（8≤x＜12）}\end{array}\right.$，x∈（6，8），f（x）是增函數(shù)，并且 g（x）≥f（x），
∴函數(shù)h（x）增區(qū)間為（0，5），（6，8）．故④不正確．
綜上①②③正確．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查簡單的建模思想方法，考查分段函數(shù)的圖象與性質，屬中高檔題．