【題目】如圖，在三棱錐中，為中點(diǎn)，在平面內(nèi)的射影在上，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：（1）推導(dǎo)出平面，平面平面，從而，，利用線面垂直的判定定理，即可得到面；

（2）以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

詳解：（1）因?yàn)?/span>在平面內(nèi)的射影在上，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

又平面平面，平面，，

所以平面.因?yàn)?/span>平面，所以.

由已知易得 ,又，所以,

在三角形中，由余弦定理得，

所以，于是，且·

又，平面，平面，

所以平面.

（2）在平面內(nèi)過(guò)作，則平面.以為原點(diǎn)，向量

的方向分別為軸、軸、軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系為計(jì)算簡(jiǎn)便，不妨設(shè)，

則，，，·

所以，.

顯然是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)是平面的法向量，

則,即·

令，得.

設(shè)二面角的大小為（為銳角）.

所以.

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示的莖葉圖記錄了華潤(rùn)萬(wàn)家在渭南城區(qū)甲、乙連鎖店四天內(nèi)銷(xiāo)售情況的某項(xiàng)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)：

（I）求甲、乙連鎖店這項(xiàng)指標(biāo)的方差，并比較甲、乙該項(xiàng)指標(biāo)的穩(wěn)定性；

（Ⅱ）每次都從甲、乙兩店統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)進(jìn)行比對(duì)分析，共選了3次（有放回選�。O(shè)選取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠生產(chǎn)某種型號(hào)的電視機(jī)零配件，為了預(yù)測(cè)今年月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的市場(chǎng)需求量，以合理安排生產(chǎn)，工廠對(duì)本年度月份至月份該型號(hào)電視機(jī)零配件的銷(xiāo)售量及銷(xiāo)售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元）和銷(xiāo)售量（單位：千件）之間的組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份

銷(xiāo)售單價(jià)（元）

銷(xiāo)售量（千件）

（1）根據(jù)1至月份的數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程（系數(shù)精確到）；

（2）結(jié)合（1）中的線性回歸方程，假設(shè)該型號(hào)電視機(jī)零配件的生產(chǎn)成本為每件元，那么工廠如何制定月份的銷(xiāo)售單價(jià)，才能使該月利潤(rùn)達(dá)到最大（計(jì)算結(jié)果精確到）？

參考公式：回歸直線方程，其中.

參考數(shù)據(jù)：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某品牌計(jì)算機(jī)售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計(jì)算機(jī)在使用一年內(nèi)需要維修1次的占15%，需要維修2次的占6%，需要維修3次的占4%.

（1）某人購(gòu)買(mǎi)了一臺(tái)這個(gè)品牌的計(jì)算機(jī)，設(shè)=“一年內(nèi)需要維修k次”，k=0,1,2,3,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下表：

事件

概率

事件是否滿足兩兩互斥？是否滿足等可能性？

（2）求下列事件的概率：

①A=“在1年內(nèi)需要維修”;

②B=“在1年內(nèi)不需要維修”；

③C=“在1年內(nèi)維修不超過(guò)1次”.

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【題目】已知點(diǎn)F為拋物線C：x2＝2py (p＞0) 的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(m，3)在拋物線C上，且|AF|＝5，若點(diǎn)P是拋物線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為，設(shè)點(diǎn)P到直線的距離為．

(1)求拋物線C的方程；

(2) 求的最小值；

(3)求的最小值．

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【題目】將圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得曲線.

寫(xiě)出的參數(shù)方程；

設(shè)直線與的交點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線段的中點(diǎn)且與垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

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【題目】某高中嘗試進(jìn)行課堂改革.現(xiàn)高一有兩個(gè)成績(jī)相當(dāng)?shù)陌嗉?jí)，其中班級(jí)參與改革，班級(jí)沒(méi)有參與改革.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果進(jìn)行檢測(cè)，規(guī)定成績(jī)提高超過(guò)分的為進(jìn)步明顯，得到如下列聯(lián)表.

進(jìn)步明顯

進(jìn)步不明顯

合計(jì)

班級(jí)

班級(jí)

合計(jì)

（1）是否有的把握認(rèn)為成績(jī)進(jìn)步是否明顯與課堂是否改革有關(guān)?

（2）按照分層抽樣的方式從班中進(jìn)步明顯的學(xué)生中抽取人做進(jìn)一步調(diào)查，然后從人中抽人進(jìn)行座談，求這人來(lái)自不同班級(jí)的概率.

附：，當(dāng)時(shí)，有的把握說(shuō)事件與有關(guān).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．

（I）求曲線C的方程；

（II）過(guò)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機(jī)抽取了參加本次質(zhì)檢考試的500名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)，并將其統(tǒng)計(jì)如下表所示．

根據(jù)上表數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可知考試成績(jī)落在之間的頻率為．

（Ⅰ）求m、n的值；

（Ⅱ）已知本歡質(zhì)檢中的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)，其中近似為樣本的平均數(shù)，近似為樣本方差，若該市有4萬(wàn)考生，試估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)介于分的人數(shù)；以各組的區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的取值Ⅲ現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>以及之間的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，再?gòu)倪@12人中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行試卷分析，記被抽取的4人中成績(jī)?cè)?/span>之間的人數(shù)為X，求X的分布列以及期望．

參考數(shù)據(jù)：若，則，，．

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