Question

（本題滿(mǎn)分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)變換到這一平面上的點(diǎn).特別地，若曲線(xiàn)上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱(chēng)點(diǎn)是曲線(xiàn)在變換下的不動(dòng)點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長(zhǎng)軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 并求出當(dāng)時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的雙曲線(xiàn)在變換

：（，）下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

Answer 1

（1）（2）（3）兩個(gè)

解析:

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.

對(duì)于變換：，當(dāng)時(shí)，可得

設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為；

又即的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，[來(lái)源:Z§xx§k.Com]

有，由點(diǎn)，即，得：

，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.

(3) 設(shè)是雙曲線(xiàn)在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則由

因?yàn)?img width=51 height=41 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/126/311726.gif" >，，故.

不妨設(shè)雙曲線(xiàn)方程為（），由代入得

則有,

因?yàn)?img width=48 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/130/311730.gif" >，故當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，

因?yàn)?img width=48 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/130/311730.gif" >，故當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

進(jìn)一步分類(lèi)可知：

（i）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

；

此時(shí)雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

（ii）當(dāng)，時(shí)，即雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

此時(shí)雙曲線(xiàn)在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).