（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸正半軸上,點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點(diǎn)的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點(diǎn),試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點(diǎn)M,求與面積之和的最小值．

 

【答案】

 

解: （Ⅰ）設(shè)拋物線方程為,由題意得:

,, 所以拋物線C的方程為…4分

 

（Ⅱ） 解法一:拋物線焦點(diǎn)與的圓心重合即為E（0,1）,

設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為,,

,,得到,…2分

由拋物線的定義可知,,

．即為定值1…．3分

（Ⅲ）,所以,

所以切線AM的方程為,切線BM的方程為,

解得即……2分

所以點(diǎn)M到直線AB的距離為．

設(shè)

…．2分

令,所以,,

所以在上是增函數(shù),當(dāng),即時(shí),,即與面積之和的最小值為2…3分

（Ⅱ）解法二:設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線方程為,,不妨設(shè)．

,,得到,．2分

,,

,即為定值…．3分

（Ⅲ）,所以,所以切線AM的方程為,

切線BM的方程為,解得即………．3分

所以點(diǎn)M到直線AB的距離為．

設(shè)

…3分

令,所以,,

所以在上是增函數(shù),當(dāng),即時(shí),,即與面積之和的最小值為2

 

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分18分）已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，且時(shí)，．

（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）求證：函數(shù)是R上的減函數(shù)；

（3）若定義在（－2，2）上的函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分18分）已知：橢圓（），過點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率大于零的直線過與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

（3）對(duì)于，是否存在實(shí)數(shù)，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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（本題滿分18分）已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，且時(shí)，．

（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）求證：函數(shù)是R上的減函數(shù)；

（3）若定義在（－2，2）上的函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；

（2）求證：函數(shù)是R上的減函數(shù)；

（3）若定義在（－2，2）上的函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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