(本題滿分18分)已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準線的距離等于5.

(Ⅰ)求拋物線C的方程;

(Ⅱ)如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

(Ⅲ)過A、B分別作拋物C的切線交于點M,求面積之和的最小值.

 

【答案】

 

解: (Ⅰ)設拋物線方程為,由題意得:

,, 所以拋物線C的方程為…4分

 

(Ⅱ) 解法一:拋物線焦點與的圓心重合即為E(0,1),

設過拋物線焦點的直線方程為,,

,,得到,…2分

由拋物線的定義可知,,

.即為定值1….3分

(Ⅲ),所以,

所以切線AM的方程為,切線BM的方程為,

解得……2分

所以點M到直線AB的距離為

….2分

,所以,,

所以上是增函數(shù),當,即時,,即面積之和的最小值為2…3分

(Ⅱ)解法二:設過拋物線焦點的直線方程為,,不妨設

,,得到,.2分

,,

,即為定值….3分

(Ⅲ),所以,所以切線AM的方程為,

切線BM的方程為,解得……….3分

所以點M到直線AB的距離為

…3分

,所以,,

所以上是增函數(shù),當,即時,,即面積之和的最小值為2

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分18分)已知函數(shù)對任意的,總有,且時,

(1)求證:函數(shù)是奇函數(shù);

(2)求證:函數(shù)是R上的減函數(shù);

(3)若定義在(-2,2)上的函數(shù)滿足,求實數(shù)m的取值范圍.

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