Question

若數(shù)列滿足①，②存在常數(shù)與無關(guān)），使.則稱數(shù)列是“和諧數(shù)列”.

（1）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”；

（2）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，求證：數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為.

Answer 1

（1）設(shè)公比為，則,

所以.                             

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323054088731729.files/image320.gif'>

=

=.                 

且即存在常數(shù)32,        

所以，數(shù)列是“和諧數(shù)列” .

（2）充分性

設(shè)等比數(shù)列的公比，且

則.

令，則                           

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323054088731729.files/image329.gif'>

所以是“和諧數(shù)列”                           

必要性

等比數(shù)列各項(xiàng)為正，且是“和諧數(shù)列”.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323054088731729.files/image331.gif'> 所以，

下面用反證法證明，

（1）當(dāng)則因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323054088731729.files/image336.gif'>所以，不存在，使對(duì)恒成立;

當(dāng)，則

所以，對(duì)于給定的正數(shù)，若

因?yàn)椋?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323054088731729.files/image339.gif'>，所以，

即當(dāng)時(shí)，有.

所以，不存在常數(shù)，使                                

所以，

綜上,數(shù)列是“和諧數(shù)列”的充要條件為其公比為.