【題目】已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1(﹣ ,0),F(xiàn)2 ,0),且橢圓C過點(diǎn)P(3,2).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與直線OP平行的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

【答案】
(1)解:由題意設(shè)橢圓方程為 =1,

∵橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1(﹣ ,0),

F2 ,0),且橢圓C過點(diǎn)P(3,2),

由橢圓定義可得2a= + =6 ,即a=3 ,

∴b2=a2﹣c2=8,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1;


(2)解:由kOP= ,

設(shè)與直線OP平行的直線方程為y= x+m,

聯(lián)立 ,得8x2+12mx+9m2﹣72=0.

由判別式△=144m2﹣32(9m2﹣72)>0,解得0<|m|<4.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=﹣ m,x1x2= ,

|AB|= = ,

點(diǎn)O到直線AB的距離為d= = |m|,

即有△PAB面積為S= |AB|d= = =6.

當(dāng)且僅當(dāng)9m2=144﹣9m2,即m=±2 時,取得最大值6.


【解析】(1)由題意設(shè)橢圓方程為 =1,利用橢圓定義求得a,結(jié)合隱含條件求得b,則橢圓方程可求;(2)求出kOP= ,設(shè)與直線OP平行的直線方程為y= x+m,聯(lián)立直線和橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,以及弦長公式,點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積公式,結(jié)合基本不等式即可得到所求最大值.

練習(xí)冊系列答案
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A.100
B.50
C.
D.0

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A. 2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B. 支出最高值與支出最低值的比是3:1

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(1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)>3的解集;
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A. B. C. D.

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