Question

已知f(x)=

1

3

(2m-1)x3+2mx2-5m2x-1的極值點(diǎn)是-5，1．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； 
（Ⅱ）求y=f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)極值的定義，先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由f'（-5）=f'（1）=0，可得關(guān)于m的方程，解出即可；
（Ⅱ）在（1）的條件下f'（x）=x²+4x-5=（x+5）（x-1），解不等式f'（x）＞0，即可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

(2m-1)x3+2mx2-5m2x-1，
∴f'（x）=（2m-1）x²+4mx-5m²
由題意，即

25(2m-1)-20m-5m2=0 2m-1+4m-5m2=0

，
解得，m=1．
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）的極值點(diǎn)是-5，1，所以m=1…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)=

1

3

x3+2x2-5x-1，f'（x）=x²+4x-5=（x+5）（x-1），
解不等式f'（x）＞0得，x＜-5或x＞1，
∴y=f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-5]，[1，+∞）．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值、單調(diào)性中的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的積極作用，規(guī)范解題．