Question

15．如圖，已知△ABC是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，且∠EDF=$\frac{π}{3}$，設(shè)∠BDE=θ$（\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}）$．
（Ⅰ）試將線段DF的長表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)△DEF的面積為S，求S=f（θ）的解析式，并求f（θ）的最小值；
（Ⅲ）若將折線BE-ED-DF-FC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到空間幾何體，試問：該幾何體的體積是否有最小值？若有，求出它的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理求出即可；
（Ⅱ）根據(jù)正弦定理求出DE，表示出三角形的面積，結(jié)合角的范圍，從而求出三角形的最小值；
（Ⅲ）先求出組合體的體積，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，解出答案．

解答 解：（Ⅰ）在△DFC中，∠FDC=$\frac{2π}{3}$-θ，∠C=$\frac{π}{3}$，∠DFC=θ，
由正弦定理：$\frac{DF}{sinC}$=$\frac{DC}{sinθ}$，得$\frac{DF}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sinθ}$，
即DF=$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$（$\frac{π}{6}$＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（Ⅱ）在△BDE中，∠BED=$\frac{2π}{3}$-θ，∠B=$\frac{π}{3}$，∠BDE=θ，
由正弦定理：$\frac{BD}{sin∠BED}$=$\frac{DE}{sinB}$，得：DE=$\frac{BDsinB}{sin∠BED}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
∴S=$\frac{1}{2}$DE•DF•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$•$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（2θ-\frac{π}{6}）+1}$，
∵θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴2θ-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
當(dāng)2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時，S_min=$\frac{3\sqrt{3}}{2+1}$=$\sqrt{3}$；
（Ⅲ）存在，最小值為4π，理由如下：
該幾何體是由四個圓錐構(gòu)成的組合體，過E點作EM⊥BD于M點，則EM=EDsinθ，
過F點作FN⊥DC于N點，則FN=DFsin（$\frac{2π}{3}$-θ），
EM•FN=$\frac{\sqrt{3}}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$sinθ•$\frac{\sqrt{3}}{sinθ}$sin（$\frac{2π}{3}$-θ）=3，
則組合體的體積V=$\frac{1}{3}$π•EM²•BD+$\frac{1}{3}$π•FN²•DC=$\frac{2π}{3}$（EM²+FN²），
所以V≥$\frac{2π}{3}$•2EM•FN=4π，當(dāng)且僅當(dāng)EM=FN時取“=”，
所以所得幾何體的體積有最小值為4π．

點評 本題考查了解三角形問題，考查函數(shù)最值問題，考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，是一道中檔題．