Question

7．不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+y≤3}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為Ω，直線y=kx-1與區(qū)域Ω有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （0，3]
• B． [-1，3]
• C． （-∞，-1）∪[3，+∞）
• D． （-∞，1]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 作出題中不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部．因為直線y=kx-1經(jīng)過定點M（0，-1），所以當直線y=kx-1與區(qū)域有公共點時，直線的位置應(yīng)界于AM、CM之間，由此算出直線CM的斜率并加以觀察即可得到實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖示：
得到如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，即為區(qū)域Ω
其中A（，-1，0），B（-1，4），C（1，2）
∵直線y=kx-1經(jīng)過定點M（0，-1），
∴當直線y=kx-1與區(qū)域Ω有公共點時，它的位置應(yīng)界于AM、CM之間（含邊界）
∵直線CM的斜率k=$\frac{2+1}{1-0}$=3，直線AM的斜率k=-1，
∴k＞0時，直線y=kx-1斜率的最小值為3，可得實數(shù)k的取值范圍為[3，+∞），
k＜0時，直線y=kx-1斜率的最大值為-1，可得實數(shù)k的取值范圍為（-∞，-1]，
故選：C．

點評 本題給出平面區(qū)域Ω與直線y=kx-1必定有公共點，求實數(shù)k的取值范圍，著重考查了直線的斜率公式和簡單線性規(guī)劃等知識．