Question

已知數(shù)列{a_n}：

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)，則數(shù)列{a_n}前n項和S_n=

 

；．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

an-1

2n

=2n，從而a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，進而S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_n}前n項和S_n．

解答： 解：∵

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1

2n

=n2+n(n∈N*)，①
∴

a1-1

2

+

a2-1

22

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+（n-1），②
①-②得：

an-1

2n

=2n，
∴a_n-1=n•2ⁿ⁺¹，
∴a_n=1+n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹+n，
設(shè)T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，③
則2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，④
③-④，得-T_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．
故答案為：（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．