Question

2．己知橢圓l0x²+5y²=27，過定點(diǎn)C（2，0）的兩條互相垂直的動(dòng)直線分別交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求向量|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最值；
（2）當(dāng)向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$與$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)所在直線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：橢圓$\frac{{x}^{2}}{\frac{27}{10}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{5}}=1$，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，a=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{5}-\frac{27}{10}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，則丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2丨$\overrightarrow{PO}$丨，因此當(dāng)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，取最小值為：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_min=2b=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；當(dāng)P為長軸頂點(diǎn)時(shí)，取最大值為：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_max=2a=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$；
（2）由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{QO}$，由向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$與$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直，$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{QO}$，則x₁•x₂+y₁•y₂=0，由丨PQ丨的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則丨MC丨=丨MO丨，則設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得x₁+x₂=-$\frac{10kb}{10+5{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5^{2}-27}{10+5{k}^{2}}$，由PC⊥QC，則x₁+x₂=2x₀=2，求得b=-$\frac{2+{k}^{2}}{k}$，y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=$\frac{-27{k}^{2}+10^{2}}{10+5^{2}}$，代入即可求得k和b的值，求得P，Q兩點(diǎn)所在直線方程．

解答 解：橢圓l0x²+5y²=27，則$\frac{{x}^{2}}{\frac{27}{10}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{5}}=1$，則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，
∴a=$\frac{3\sqrt{15}}{5}$，b=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{5}-\frac{27}{10}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$，
由題意可知：O為△PF₁F₂，F(xiàn)₁F₂上的中點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，則丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2丨$\overrightarrow{PO}$丨
∴當(dāng)P位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨取最小值，最小值為：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_min=2b=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；
當(dāng)P為長軸頂點(diǎn)時(shí)，丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨取最大值，最大值為：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨_max=2a=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$；
向量|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的最小值為$\frac{3\sqrt{30}}{5}$，最大值$\frac{3\sqrt{30}}{5}$；
（2）由（1）可知：$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{PO}$，$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{QO}$，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由向量$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$與$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$互相垂直，
∴$\overrightarrow{PO}$⊥$\overrightarrow{QO}$，
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴丨PQ丨為Rt△POQ與Rt△PCQ的公共邊，
設(shè)丨PQ丨的中點(diǎn)為M（x₀，y₀），則丨MC丨=丨MO丨，
設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+b，
則：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{10{x}^{2}+5{y}^{2}=27}\end{array}\right.$，整理得：（10+5k²）x²+10kbx+5b²-27=0，
由△=（10kb）²-4（10+5k²）（5b²-27）=-27k²+10b²-54＞0，則27k²-10b²+54＜0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{10kb}{10+5{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5^{2}-27}{10+5{k}^{2}}$，
由PC⊥QC，則x₁+x₂=2x₀=2，
解得：b=-$\frac{2+{k}^{2}}{k}$，
y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁•x₂+kb（x₁+x₂）+b²=$\frac{-27{k}^{2}+10^{2}}{10+5^{2}}$，
由x₁•x₂+y₁•y₂=0，整理得：12k⁴-33k²+60=0，
解得：k=±2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
滿足27k²-10b²+54＜0，
∴直線PQ的方程：2x-y-3=0或2x+y-3=0．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，向量垂直及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于難題．