Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)拋物線C與直線y=x-b相交于不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，若OA⊥OB，求b．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），利用P（4，m）到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的定義，即可求拋物線C的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用x₁x₂+y₁y₂=0即可求b．

解答： 解：（1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），其準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，
∴4+

p

2

=5，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
拋物線C與直線y=x-b聯(lián)立，消去x得y²-2by-4b=0，
∴y₁y₂=-4b，∴x₁x₂=b²，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=0，
∵b≠0，
∴b=4．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理、向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．