【題目】已知橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成面積為的等腰直角三角形.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）直線與橢圓交于點A、B，線段的中點為M，射線MO與橢圓交于點P，點O為的重心，試問：的面積S是否為定值，若是，求出這個值；若不是，求S的取值范圍.

【答案】（1）；（2）的面積為定值.

【解析】

（1）依題意可得：，解得，可得橢圓的方程.

（2）若直線的斜率不存在，由已知可得，，可求得的面積S；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，直線與橢圓的方程聯(lián)立可得，則，，，由點為的重心，設(shè)，求得點P的坐標，代入橢圓的方程中得到m與k的關(guān)系，再運用三角形的面積公式求得的面積，得出結(jié)論.

（1）依題意得：，解得，所以橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，因為點O為的重心，所以，，

所以的面積.

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

即，聯(lián)立化簡得，

則，，

由題意點為的重心，設(shè)，則，，

所以，，代入橢圓，

得，整理得，

設(shè)坐標原點到直線的距離為，則的面積

.

綜上可得的面積為定值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.

年份

年份代號

年利潤（單位：億元）

（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該公司年（年份代號記為）的年利潤；

（Ⅱ）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（Ⅰ）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為級利潤年，否則稱為級利潤年.將（Ⅰ）中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年，求恰有年為級利潤年的概率.

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．

（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數(shù)；

（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學期望；

（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計

甲培育法

20

乙培育法

10

合計

附：下面的臨界值表僅供參考．

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

（參考公式：，其中．）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點，且，（其中O為坐標原點）．

（1）求證：直線必與x軸交于一定點Q，并求出此定點Q的坐標；

（2）過點Q作直線的垂線與拋物線交于C、D兩點，求四邊形面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等邊的邊長為，點，分別是，上的點，且滿足 (如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).

(1)求證：平面；

(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，證明：函數(shù)有兩個零點．

（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點,點在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程；

(2)若的角平分線所在的直線與橢圓的另一個交點為為橢圓上的一點,當面積最大時,求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為確定數(shù)學成績與玩手機之間的關(guān)系，從全校隨機抽樣調(diào)查了40名同學，其中40%的人玩手機．這40位同學的數(shù)學分數(shù)（百分制）的莖葉圖如圖①所示．數(shù)學成績不低于70分為良好，低于70分為一般．

（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“數(shù)學成績良好與不玩手機有關(guān)系”．

數(shù)學成績良好

數(shù)學成績一般

總計

不玩手機

玩手機

總計

40

（2）現(xiàn)將40名同學的數(shù)學成績分為如下5組：

，其頻率分布直方圖如圖②所示．計算這40名同學數(shù)學成績的平均數(shù)，由莖葉圖得到的真實值記為，由頻率分布直方圖得到的估計值記為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），求與的誤差值．

（3）從這40名同學數(shù)學成績高于90分的7人中隨機選取2人，求至少有一人玩手機的概率．

附：，

這40名同學的數(shù)學成績總和為2998分．

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線和平面所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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