Question

已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足以下三個條件：

①對任意的x∈[0,1]，總有f(x)≥0；

②f(1)＝1；

③當(dāng)x₁，x₂∈[0,1]，且x₁＋x₂∈[0,1]時，f(x₁＋x₂)≥f(x₁)＋f(x₂)成立．

稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．

請解答下列各題：

(1)已知f(x)為“友誼函數(shù)”，求f(0)的值；

(2)函數(shù)g(x)＝2^x－1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”？請給出理由；

(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”，假定存在x₀∈[0,1]，使得f(x₀)∈[0,1]，且f[f(x₀)]＝x₀，求證：f(x₀)＝x₀.

Answer 1

解： (1)令x₁＝1，x₂＝0，則x₁＋x₂＝1∈[0,1]．

由③，得f(1)≥f(0)＋f(1)，即f(0)≤0.

又由①，得f(0)≥0，所以f(0)＝0.

(2)g(x)＝2^x－1是友誼函數(shù)．

任取x₁，x₂∈[0,1]，x₁＋x₂∈[0,1]，有2x₁≥1,2x₂≥1.

則(2x₁－1)(2x₂－1)≥0.

即g(x₁＋x₂)≥g(x₁)＋g(x₂)．又g(1)＝1，

故g(x)在[0,1]上為友誼函數(shù)．

(3)取0≤x₁<x₂≤1，則0<x₂－x₁≤1.

因此，f(x₂)≥f(x₁)＋f(x₂－x₁)≥f(x₁)．

假設(shè)f(x₀)≠x₀，

若f(x₀)>x₀，則f[f(x₀)]≥f(x₀)>x₀.

若f(x₀)<x₀，則f[f(x₀)]≤f(x₀)<x₀.

都與題設(shè)矛盾，因此f(x₀)＝x₀.