【題目】如圖,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).

(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為 ,求線段AM的長.

【答案】
(1)證明:以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,

依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

=0.

所以B1C1⊥CE;


(2)解: ,

設(shè)平面B1CE的法向量為 ,

,即 ,取z=1,得x=﹣3,y=﹣2.

所以

由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1,

為平面CEC1的一個法向量,

于是 =

從而 = =

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值為


(3)解: ,

設(shè) 0≤λ≤1,

為平面ADD1A1的一個法向量,

設(shè)θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角,

=

=

于是

解得 .所以

所以線段AM的長為


【解析】(1)由題意可知,AD,AB,AA1兩兩互相垂直,以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后,求出 ,由 得到B1C1⊥CE;(2)求出平面B1CE和平面CEC1的一個法向量,先求出兩法向量所成角的余弦值,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值,則二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求;(3)利用共線向量基本定理把M的坐標(biāo)用E和C1的坐標(biāo)及待求系數(shù)λ表示,求出平面ADD1A1的一個法向量,利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值,代入 求出λ的值,則線段AM的長可求.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角,掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則即可以解答此題.

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(2)在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻落在水平的帶狀區(qū)域中即可說明選用的模型比較合適,與帶狀區(qū)域的寬度無關(guān).

(3)在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)為,越接近于1,相關(guān)程度越大;越小,相關(guān)程度越小.

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1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數(shù)模型;

2)如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.6萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元.

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