Question

已知B（0，b），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，圓F₂過原點O（圓心為F₂），直線BF₁與圓F₂相切．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若直線BF₁與雙曲線交于M，N兩點，且△OMN的面積為2

6

，求雙曲線的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得到直線BF₁ 的方程，由圓心到直線的距離等于半徑列式求得雙曲線的離心率；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到M，N的橫坐標(biāo)的差的絕對值，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積和列式，結(jié)合雙曲線的離心率即可求得a，b的值，則雙曲線方程可求．

解答： 解：（1）如圖，

直線BF₁ 的方程為

y-0

b-0

=

x+c

0+c

，即bx-cy+bc=0．
∵直線與圓F₂相切，
∴

|2bc|

b2+c2

=c，即4b²=b²+c²，3b²=c²，
也就是3c²-3a²=c²，2c²=3a²，即e=

c

a

=

6

2

；
（2）聯(lián)立

bx-cy+bc=0 x2 a2 - y2 b2 =1

，得b²x²-2a²cx-2a²c²=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x1+x2=

2a2c

b2

，x1x2=-

2a2c2

b2

，
|x2-x1|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2a2c b2 )2+ 8a2c2 b2

=

8a2c4-4a4c2

b2

．
∴

1

2

b•

8a2c4-4a4c2

b2

=2

6

，即2a²c⁴-a⁴c²=24c²-24a²  ①，
把

c

a

=

6

2

代入①得，a²=2，c²=3，
∴b²=c²-a²=1．
∴雙曲線方程為

x2

2

-y2=1．

點評：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，把三角形的面積轉(zhuǎn)化為兩個三角形的面積和是解答（2）的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．