Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x-1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極值；
（2）由（1）知，函數(shù)在[0，

1

3

）遞增，在（

1

3

，1）遞減，在（1，2]遞增，從而求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²-4x+1，
令 f'（x）=0，解得x₁=

1

3

，x₂=1．                                
列表討論f（x）、f'（x）的變化情況：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

1

3

）、（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

3

，1）；   
當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（x）的極大值是f（

1

3

）=-

23

27

；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的極小值是f（1）=3；
（2）由（1）知，函數(shù)在[0，

1

3

）遞增，在（

1

3

，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴x=0或1時(shí)，f（x）取最小值-1，x=2時(shí)，f（x）取最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．