Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a．問(wèn)：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t？請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明．

Answer 1

（1）解：∵函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)可得，
即
∴-20≤q≤12
（2）證明：假設(shè)存在常數(shù)t（t≥0）滿足題意，分三種情況求解：
①當(dāng)，即0≤t≤6時(shí)，
當(dāng)x=8時(shí)，取到最小值f（8）；當(dāng)x=t時(shí)，取到最大值f（t），
∴f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（t）]，
∴區(qū)間長(zhǎng)度為t²-16t+P+3-（p-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，
∴t=，t=（舍）
②當(dāng) 即6≤t＜8時(shí)，D=[f（8），f（10）]=[p-61，p-57]
∴區(qū)間長(zhǎng)度為p-57-（p-61）=4=12-t，
∴t=8．經(jīng)檢驗(yàn)t=8不合題意，舍去．
③當(dāng)t≥8時(shí)，函數(shù)f（x）在[q，10]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的值域?yàn)椋篬f（t），f（10）]，即[t²-16t+p+3，p-57]．
∴區(qū)間長(zhǎng)度為p-57-（t²-16t+p+3）=-t²-16t-60=12-t，
∴t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9．經(jīng)檢驗(yàn)t=8或t=9滿足題意．
綜上知，存在常數(shù)t=8或t=9，或t=時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為12-t
分析：（1）根據(jù)解析式判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上遞減，由函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義知f（-1）≥，f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范圍；
（2）先假設(shè)存在常數(shù)t（t≥0）滿足題意，根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間[t，10]的關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)，再根據(jù)每種情況中的二次函數(shù)圖象求出函數(shù)的值域，利用區(qū)間長(zhǎng)度求出t的值，注意驗(yàn)證是否在確定的范圍內(nèi)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的幾何意義和在給定區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，特別是區(qū)間含有參數(shù)時(shí)，要討論對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系并由此進(jìn)行分類(lèi)，是綜合性強(qiáng)和計(jì)算量大的題．