Question

如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H為BC的中點，
（Ⅰ）求證：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證：設AC與BD交于點G，則G為AC的中點．由于H為BC的中點，容易證明四邊形EFGH為平行四邊形，即可得EG∥FH，可證
（Ⅱ）證：由四邊形ABCD是正方形可得AB⊥CB．結(jié)合EF∥AB，可得EF⊥BC．由EF⊥FB，可得EF⊥平面BFC．EF⊥FH，結(jié)合已知可證FH⊥平面ABCD，及FH∥EG，可證AC⊥EG．又AC⊥BD，可證

解答：（Ⅰ）證：設AC與BD交于點G，則G為AC的中點．
連EG、GH，
由于H為BC的中點，故GH

∥

.

1

2

AB．
又FE

∥

.

1

2

AB，
∴EF

∥

.

GH．
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
∴EG∥FH．而EG?平面EDB，
∴FH∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）證：由四邊形ABCD是正方形，有AB⊥CB．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．而EF⊥FB，
∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH，
∴AB⊥FH．又BF=FC，H為BC的中點，
FH⊥BC．
FH⊥平面ABCD，
∴FH⊥AC．又FH∥EG，
AC⊥EG．又AC⊥BD，GE∩BD=G，
∴AC⊥平面EDB．…（14分）

點評：本題主要考查了線面平行與線面垂直的證明，證明的關鍵是利用判定定理，并要注意線線平行（垂直）與線面平行（垂直）的相互轉(zhuǎn)化