Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）在R上滿足f（-x）=-f（x），當x=1時f（x）取得極值-2．
（1）f（x）的解析式．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）可得d=0，得f（x）=ax³+cx，求出f'（x），得方程組，解出即可；
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，從而求出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，由f（0）=0可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
當x=1時f（x）取得極值-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+c=0}\\{f（1）=a+c=-2}\end{array}\right.$，
解方程組得a=1，c=-3，
故所求解析式為f（x）=x³-3x．
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
即增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間（-1，1）；
∴當x=-1時，函數(shù)有極大值2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值問題，屬于中檔題．