Question

（2011•江蘇二模）必做題
隨機(jī)的將編號(hào)為1，2，3的三個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子放入一個(gè)小球，當(dāng)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)叫做“放對(duì)球”，否則叫做“放錯(cuò)球”，設(shè)放對(duì)球的個(gè)數(shù)為?．
（1）求?的分布列；
（2）求?的期望值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知?的可能取值為0，1，3，結(jié)合題設(shè)條件分別求出P（?=0），P（?=1），P（?=3，由此能求出?的分布列．
（2）由?的分布列，能求出E?．

解答：解：（1）由題設(shè)知?的可能取值為0，1，3，
∵?=0表示的是從3個(gè)球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 2

種，
從剩余的2個(gè)球中任取一球，有

C

1 2

種取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的1個(gè)球中任取一球，有

C

1 1

種取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 1

種，
∴P（?=0）=

C 1 2 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

3

，
∵?=1表示的是先從3個(gè)球中任取1球（假設(shè)取到3號(hào)球），放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒中（放入3號(hào)盒中），
問(wèn)題就簡(jiǎn)化為把編號(hào)為1，2的兩個(gè)小球放入編號(hào)為1，2的兩個(gè)盒中，兩個(gè)球都是放錯(cuò)球，
∴P（?=1）=

C 1 1 × C 1 1

C 1 2 × C 1 1

=

1

2

，
∵?=3表示的是從3個(gè)球中任取一球，有

C

1 3

取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的2個(gè)球中任取一球，有

C

1 2

種取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 1

種，
從剩余的1個(gè)球中任取一球，有

C

1 1

種取法，放入盒中是放錯(cuò)球的方法有

C

1 1

種，
∴P（?=3）=

C 1 1 × C 1 1 × C 1 1

C 1 3 × C 1 2 × C 1 1

=

1

6

，
∴?的分布列為：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

（2）∵?的分布列為：

ζ	0	1	3
P	1 3	1 2	1 6

∴E?=0×

1

3

+1×

1

2

+3×

1

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的方差，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，易錯(cuò)點(diǎn)是?=1的合理簡(jiǎn)化．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．