Question

已知拋物線C₁：y²=4px（p＞0），焦點(diǎn)為F₂，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)F₁；橢圓C₂：分別以F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，其離心率；且拋物線C₁和橢圓C₂的一個交點(diǎn)記為M．
（1）當(dāng)p=1時，求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）的條件下，若直線l經(jīng)過橢圓C₂的右焦點(diǎn)F₂，且與拋物線C₁相交于A，B兩點(diǎn)，若弦長|AB|等于△MF₁F₂的周長，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）m=1時，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線L的方程，代入拋物線方程化簡，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入弦長公式求出斜率 k的值．
解答：解：（1）當(dāng)p=1時，F(xiàn)₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0）
設(shè)橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），∴c=1，=
∵c²=a²-b²，∴a=2，b=
故橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1..（4分）
（2）（�。┤糁本�l的斜率不存在，則l：x=1，且A（1，2），B（1，-2），∴|AB|=4
又∵△MF₁F₂的周長等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6≠|(zhì)AB|
∴直線l的斜率必存在．（6分）
（ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，則l：y=k（x-1）
由，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∵直線l與拋物線C₁有兩個交點(diǎn)A，B
∴△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，且k≠0
設(shè)則可得，x₁x₂=1
于是|AB|==
=
==
∵△MF₁F₂的周長等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6
∴由=6，解得k=
故所求直線l的方程為．（12分）
點(diǎn)評：本題考查拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，弦長公式的應(yīng)用，設(shè)出直線l的斜率為k，表示出△PF₁F₂的邊長是解題的難點(diǎn)．