Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)a_n+1=3a_n+2（n∈N^*）變形可知a_n+1+1=3（a_n+1），進(jìn)而即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=n3ⁿ-n，進(jìn)而T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知Q_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n+1=3a_n+2（n∈N^*），
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
又∵a₁+1=2+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知：a_n+1=3ⁿ，
∴b_n=na_n=n（3ⁿ-1）=n3ⁿ-n，
∴T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-（1+2+3+…+n）
=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$，
記Q_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
則$\frac{1}{3}$Q_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1，
兩式相減得：-$\frac{2}{3}$Q_n=3⁰+3¹+3²+…+3^n-2+3^n-1-n•3ⁿ
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$-n•3ⁿ
=（$\frac{1}{2}$-n）•3ⁿ-$\frac{1}{2}$，
∴Q_n=-$\frac{3}{2}$[（$\frac{1}{2}$-n）•3ⁿ-$\frac{1}{2}$]=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$，
∴T_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$
=（$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{4}$）•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．